UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO DE QUITO
COLEGIO POLITÉCNICO
ÁLGEBRA LINEAL 1
DAVID CERPA CARVAJAL
FROILÁN LUNA AGUIRRE
lunes, 20 de julio de 2020
INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia se ha observado como los deportes (actividades), han sido una herramienta esencial para la humanidad. Desde sus inicios, el hombre se ha esmerado por conseguir un premio (individual o colectivo) y se ha visto a flor de piel su espíritu competitivo. Estas actividades se frecuentaban en lugares específicos y poco a poco el ser humano fue evolucionando estos sitios para mejor comodidad, tanto de los deportistas (que son quienes realizan el espectáculo), como de los espectadores (que son quienes lo disfrutan). En este blog, trataremos del rey de los deportes, el fútbol y sus lugares de entretenimiento.
Existen algunas teorías sobre su lugar de origen, pero ninguna de ellas es aceptada por la comunidad científica. Las primeras manifestaciones de este deporte, no son tan similares a como lo conocemos hoy en día; como es el caso de una teoría que afirma que nació en Argentina, con una pelota de goma con la que jugaban los indígenas de esa región. En Inglaterra se empezaron a dar las primeras apariciones de equipos de fútbol profesionales y semi profesionales o amateurs, que estaban constituidos por un comité que los administraba, una cantidad de personas que apoyaban al equipo económicamente, los jugadores y sus familias. Dando paso a la creación del primer estadio, el Bramall Lane en 1855 y posteriormente en 1863 concretaron las reglas y normas para su práctica y así el inicio el “Football Association”. Con el paso del tiempo, se convertirá en el GRAN DEPORTE que ahora conocemos, ya que es uno de los más vistos y con mayor cantidad de comercio monetario en el mundo.
Los primeros partidos oficiales de las ligas profesionales y amateurs de Inglaterra se dieron en lugares tales como: parques, plazas, lugares despejados, entre otros. Pero, por la gran cantidad de demanda de personas que asistían y para la comodidad de los jugadores, se vieron en la obligación de crear un lugar en donde se dedique específicamente al desenvolvimiento del deporte. Llegó así la idea de crear ESTADIOS, los cuales fueron diseñados y construidos por arquitectos, ingenieros civiles, y un sinfín de profesionales que han ido más allá de una necesidad de entretenimiento a buscar el bienestar de sus asistentes.
En el campo de la Ingeniería Civil, específicamente para la construcción de los estadios de fútbol, existe un sinnúmero de parámetros de los que se pudiera tratar con relación a sus elementos estructurales. Entre los más interesantes está el balanceo de la carga muerta de los graderíos, el condicionamiento del suelo para que el campo este en óptimas condiciones y los materiales de construcción (vigas), que es lo que vamos a tratar en este blog. Para realizar todos estos cálculos se usa una herramienta esencial: El ÁLGEBRA LINEAL, la cual es una rama de la matemática encargada de agrupar vectores en conjuntos llamadas matrices en las cuales se realizan operaciones algebraicas básicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones por un escalar) que nos ayudan a procesar información de vectores con coeficiente igual a uno y simplificar el trabajo, procesando la información para llegar a una conclusión. Dentro de esta rama, podemos encontrar diferentes algoritmos que nos ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales agrupadas en matrices.
Aquí vamos a utilizar uno de los más famosos y reconocidos a nivel mundial, el algoritmo de GAUSS-JORDAN; llamada así en honor a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan. Este consiste en la resolución de sistemas mediante la reducción escalonada de filas y columnas tratando de llegar a una matriz identidad, en la que, todos los valores de la diagonal principal sean 1 y los demás estén llenos de ceros, para obtener una respuesta directa. A continuación un ejemplo realizado en MatrixCalculator:
Y también utilizaremos una parte del Álgebra Lineal llamada ORTOGONALIDAD, esta consiste en un espacio vectorial de dos vectores (en el universo de los reales) que tienen un ángulo de 90° y su producto interior (producto punto) debe ser igual a 0. Para determinarla (siempre y cuando los vectores no sean ortoganales entre sí), se utiliza el algoritmo de Gram-Schmidt; que consiste en: resta del segundo vector menos el producto punto del vector uno y el vector dos dividido para el producto punto del vector uno con el vector uno y multiplicado por el vector uno. En otras palabras, aplicamos la fórmula:
He aquí un ejemplo aplicado en Octave (Mathlab)
MÉTODOS DE LA CONSTRUCCIÓN DE ESTADIOS EN LOS QUE SE UTILIZA MATRICES
En este tipo de obras civiles podemos encontrar el uso del Álgebra Lineal, una de ellas, en la elaboración de sistema de ecuaciones, en las que se considera, dentro de las matrices, a las variantes de rigidez y flexibilidad de una viga. De esta manera, una vez resuelto el sistema de ecuaciones con los resultados arrojados, garantizamos que la construcción tenga resistencia y que no se destruya por fenómenos externos al hombre. Es en este punto en donde nos permitimos explicar de manera detallada los métodos ya mencionados:
Método de flexibilidad. - Se utiliza para exponer los conocimientos de elasticidad, resistencia de materiales y estructuras, y se establece la relación entre las cargas que actúan sobre la estructura y la deformación elástica de dichas cargas, esto se presenta gracias a la “ley de comportamiento”. Esta es la matriz flexibilidad:
Y este es un ejemplo de la matriz flexibilidad cuando se aplica un esfuerzo a la viga:
(Esta también se puede realizar en base a una sub-matriz para que su cálculo sea más cómodo aunque con mayor error) 
Método de rigidez. - Relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura interna de la construcción. Este método está dado por el siguiente sistema matricial:
Y para verificar que este método es el correcto, nos dejaremos guiar por su comprobación gráfica.
Estos son los métodos en los cuales se basarán nuestra investigación; porque además de ver presente el Álgebra Lineal en las vigas de los estadios, sabemos que estas son la base de la construcción y así nos daremos cuenta de su EVOLUCIÓN.
ANÁLISIS DEL BRAMALL LANE
Este estadio es propiedad del Sheffield United F.C. y está localizado en el Reino Unido. Abrió sus puertas al público en 1855, por lo cual, es considerado el primer estadio de fútbol (como lo conocemos ahora), de la historia. Su diseñador fue el arquitecto Miller Partnership, quien consideró que debía ser de la misma forma que el campo de fútbol y la hizo geométricamente cuadrada y con capacidad de aproximadamente 33,000 espectadores. Al ser la primera construcción de este tipo, se convirtió en un referente para construir más estadios, semejantes a éste, pero con más precisión.
Una vez que hemos mencionado a los dos tipos de análisis matriciales que se utilizan en las vigas, procedemos a analizarlas en la construcción con el método de la RIGIDEZ:
Como podemos observar en la imagen, el estadio Bramall Lane está constituido por un sinnúmero de materiales de construcción, sin embargo, el más importante, son las vigas, porque son los elementos estructurales de los cuales nacen los estadios de fútbol.
Y para entenderlo mejor; haremos un análisis detallado de una de ellas porque las demás tienen similar comportamiento. Lo primero que debemos hacer es un boceto de la viga en el papel, para poder identificar de manera fidedigna, las cargas que va a soportar y el comportamiento que tendrá cuando sea forzada.
A partir de este gráfico, nace los sistema de ecuaciones. Estos se pueden presentar como una matriz cuadrada:
En esta ecuación, vemos claramente un principio básico del Álgebra Lineal; lo que llamamos COMBINACIÓN LINEAL, en donde Ax=b, donde A es la matriz cuadrada de la viga; x es el vector que utilizamos para referirnos a la carga que sufre y b que en este caso es el vector cero.
Este es el tipo de matriz que se utilizó para la construcción de este estadio; y para verificar que funcionaba, procederemos a poner un ejemplo del cálculo de la rigidez de una viga y lo comprobaremos con un software muy utilizado en esta rama, Matrix Calculator. Este nos permite hacer cálculos con matrices y sistemas de ecuaciones lineales muy grandes en cuestión de segundos, indicándonos paso a paso los procedimientos.
ANÁLISIS DEL WANDA METROPOLITANO
El Wanda Metropolitano es un estadio profesional del balompié dedicado al entretenimiento de masas, que pertenece al equipo de fútbol Atlético de Madrid F.C. Está ubicado en Madrid, la capital de España y tiene la capacidad de albergar alrededor de 68,000 espectadores. Es considerado uno de los estadios más lujos y mejor preparados de la actualidad. Su construcción es tan impresionante que en el año 2017 obtuvo el Premio de Mejor Obra Civil otorgado por la Comunidad de Madrid y algunos ingenieros y arquitectos afirman que es la nueva era en este tipo de construcciones. Su nombre se debe al Grupo Empresarial Wanda, empresa que ayudó a su financiamiento. Estos contrataron a la Constructora Española FCC, quien entregó la obra en 2017 y su diseño se debe al grupo de arquitectos Cruz y Ortiz.
Estas son algunas imágenes de su construcción:
La relación de esta obra con el Álgebra Lineal la encontramos en el diseño del techo; este se acentúa sobre una superficie que debe soportar carga muerta y carga axial de toda una superficie que cubre prácticamente todo el estadio y que cuenta con una forma completamente original. Los parámetros para verificar que el techo soporta este tipo de esfuerzos, se ayudan del conjunto de vectores (que representan la fuerza ejercida sobre el objeto) en grupos denominadas matrices cuyos resultados nos garantizarán su estabilidad. El material utilizado para este proyecto fue el hormigón armado, con anillos de acero y consta de una geometría OVALADA.
Para la construcción de la cubierta se necesita hormigón armado; este es la
unión del hormigón con un tipo de varilla que en este caso actúa como viga.
Para esto, necesitamos el cálculo de diagonalización de una matriz, partiendo
del esfuerzo que realizan las vigas sobre la base que la va a soportar. Así conectamos
con los temas de los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada en su forma física y mecánica.
Para la construcción del techo se necesitó la matriz de rigidez, pero, en una nueva versión llamada matriz de flexibilidad y esta es la notable evolución en la construcción de estadios de fútbol en Europa.
Ahora observaremos el método de la rigidez por ortogonalidad:
Matriz rigidez, para una viga doblada por el método de mínimos cuadrados:
Matriz que demuestra la ley del comportamiento por el método de la
flexibilidad en el caso de una viga doblada:
MATERIAL ADICIONAL
La mayoría de personas en la actualidad creen que mientras más permanezca estática una estructura, es más segura; pero, ¿es cierto esto realmente? ¿las estructuras deben moverse? Existe una gran cantidad de obras civiles en donde los escenarios pueden cambiar; pero si hablamos de un estadio de fútbol, estamos hablando de infinidad de cálculos para carga viva en los asientos de los asistentes más que de carga muerta. Y para que este tipo de construcciones puedan soportar este tipo de carga, necesariamente debe moverse; es el momento en el cual las vigas se flexionan impidiendo así la ruptura de la obra. Ahora la pregunta en este punto es: ¿hasta qué punto debe moverse? ¿Qué pensarías si te digo que hay estadios de fútbol que se mueven varios centímetros? Si no me lo crees, aquí te dejo el link para que lo revises tú mismo. A esto es a lo que yo llamo dejar todo por el equipo, porque de seguro yo saldría corriendo. Si quieres que lo analicemos a futuro, deja un comentario en la parte de abajo.
PLUS (CÓDIGO COMPUTACIONAL)
NUESTRO PLUS EN ESTE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN ES EL HABER CREADO UN CÓDIGO COMPUTACIONAL CON LA AYUDA DE OCTAVE (MATHLAB), QUE DETALLA CON MUCHA PRECISIÓN LA RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD DE UNA VIGA EN LA CONSTRUCCIÓN DE CUALQUIER ESTADIO DE FÚTBOL. COMO HEMOS OBSERVADO, EN EL PASADO, PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL PRIMER ESTADIO SE UTILIZÓ LA MATRIZ RIGIDEZ, Y PARA EL ÚLTIMO, LA MATRIZ FLEXIBILIDAD QUE DETALLA DE MEJOR MANERA EL COMPORTAMIENTO DE LAS VIGAS CUANDO LA CONSTRUCCIÓN NO ES CUADRADA COMO EN EL SEGUNDO CASO. PARA ESTO UTILIZAMOS EL ALGORITMO DE GRAM-SCHMIDT.
COMO ESTE ALGORITMO NO ESTÁ DEFINIDO EN MATHLAB, NOSOTROS FORZAMOS AL SOFTWARE A CALCULAR LA ORTOGONALIDAD DE DOS O MÁS VECTORES. ESTO LO HACEMOS PORQUE LAS VIGAS SIEMPRE VAN PERPENDICULARES A LAS COLUMNAS DONDE SON ACENTUADAS. Y HE AQUÍ EL CÓDIGO:
MATRIZ FLEXIBILIDAD
w1=[13 0 6]'
w2=[0 13 6]'
w3=[6 6 8]'
w4=[-1 0 0]'
w5=[0 -12 -6]'
w6=[0 6 2]'
v1= w1
v2= w2-dot(w1,w2)/dot(w1,w1)*w1
v3= w3-dot(w3,w1)/dot(w1,w1)*w1 - dot(w3,w2)/dot(w2,w2)*w2
v4= w4-dot(w4,w1)/dot(w1,w1)*w1 - dot(w4,w2)/dot(w2,w2)*w2 - dot(w4,w3)/dot(w3,w3)*w3
v5= w5-dot(w5,w1)/dot(w1,w1)*w1 - dot(w5,w2)/dot(w2,w2)*w2 - dot(w5,w3)/dot(w3,w3)*w3 - dot(w5,w4)/dot(w4,w4)*w4
v6= w6-dot(w6,w1)/dot(w1,w1)*w1 - dot(w6,w2)/dot(w2,w2)*w2 - dot(w6,w3)/dot(w3,w3)*w3 - dot(w6,w4)/dot(w4,w4)*w4 - dot(w6,w5)/dot(w5,w5)*w5
MATRIZ RIGIDEZ
A=[12 6 0 ; 6 8 2 ; 6 2 8]'
b=[6 2 0]'
At= [12 6 0 ; 6 8 2 ; 6 2 8]'
C1= At*A
C2= At*b
y1=[12 6 0]'
y2=[6 8 2]'
y3=[6 2 8]'
x1=[11/21]'
x2=[-1/21]'
x3=[-8/21]'
D1= x1*y1
D2= x2*y2
D3= x3*y3
T4= D1+D2+D3
E1= T4-b
F1= dot(E1,y1)
F2= dot(E1,y2)
F3= dot(E1,y3)
Q1= F1+F2+F3
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